Edu Ways

2. Докажите, что через любую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой (модификация задачи 2.14).

3. Даны две параллельные плоскости, точка вне этих плоскостей и окружность в одной из этих плоскостей (рис. 44). Через каждую точку Х окружности и данную точку проводится прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х1. Что представляет собой геометрическое место точек Х1?

Решение: Заметим, что при данном преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз (рассмотрение двух пересекающихся прямых и обобщение на множество прямых, обладающих данным свойством). Данный факт и указанный способ преобразования дает основание считать, что геометрическим местом точек Х1 является окружность, гомотетичная данной, с коэффициентом гомотетии .

II вариант

1. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекает плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 45).

Решение: Используется метод, подобный задаче 1 I варианта. Указание: Две пересекающиеся прямые задают плоскость – параллелограмм, в котором они являются диагоналями.

2. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD (пример 9).

3. Даны две параллельные плоскости, пересекающая их прямая и окружность в одной из плоскостей (рис. 46). Через каждую точку Х окружности проводится прямая, параллельная данной прямой и пересекающая вторую плоскость в некоторой точке Х1. Что представляет собой геометрическое место точек Х1?

Решение: Аналогично задаче 3 I варианта, но с применением подобия фигур.