Edu Ways

Пример 6: Точка Е – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые а) АР, ВС и АВ (рис. 7а); б) АС (рис. 7б).

Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а.

Решение: Необходимо выделять грани (сечение) из состава тетраэдра, чтобы опустить из заданной точки перпендикуляры на заданные ребра.

а) Найдем длину перпендикуляра: Δ РАВ – равносторонний и т.Е – середина ребра РВ. ΔВМР ~ ΔЕКР с коэффициентом подобия (по определению преобразования подобия). Зная длины сторон ΔЕКР: , применим теорему Пифагора и получим: . Остальные длины перпендикуляров равны этому же значению.

б) Заметим, что перпендикуляр МЕ будет лежать в плоскости, перпендикулярной ребру АС. Чтобы построить эту плоскость, опустим из вершин В и Р перпендикуляры РМ и ВМ, тогда любая прямая, лежащая в ней будет перпендикулярна АС.

Найдем длину МЕ: В ΔАВС перпендикуляр МВ является медианой, следовательно, по теореме Пифагора . РМ = МВ. Тогда в равнобедренном ΔРМВ медиана МЕ является высотой. По теореме Пифагора: .

Итак, выделено шесть видов заданий на создание геометрических образов (внутренне взаимосвязанных). Они предполагают:

перевод текста задачи в графический образ (его построение по условию задачи, выраженного словесно, с использованием символических обозначений);

актуализацию существенных признаков;

вычленение различных элементов чертежа, их сравнение, выделение, опознание;

видоизменение чертежа (мысленное или практическое) путем его переосмысливания, дополнительных построений, расширения исходных данных.

При выполнении этих заданий от ученика требуется воссоздание образа по словесному описанию или чертежу и его мысленное видоизменение (без изменения самого чертежа), что предполагает развитие произвольности восприятия, хорошей зрительной памяти; точной фиксации образа чертежа, го мысленного, причем, неоднократного преобразования в указанном направлении.

4.2. Задания на оперирование геометрическими образами

Эти задания отличаются тем, что их выполнение не предполагает опору на чертеж (данный в готовом виде или сделанный учеником по условию задачи). Вся работа с исходным образом осуществляется в основном «в воображении». Эти задания вызывают наибольшие трудности у тех учащихся, которые не могут «удержать» образ (он как бы расплывается, размывается, исчезает, а не имея четкого исходного образа, нельзя им мысленно «манипулировать»).

Есть здесь и другая трудность. Ученики, создающие отчетливые исходные образы, тоже затрудняются их мысленно видоизменять. Но эти затруднения отличны от тех, при которых образ, наоборот, не сохраняется, а расплывается. По условию задачи надо образ не столько «удержать», сколько его видоизменить (преобразовать в новый), т. е. отвлечься от него, а это как раз и трудно для тех учеников, у которых возникают яркие образы. Таким образом, трудность в оперировании геометрическими образами по своему психологическому содержанию различна, что требует использования разных методических приемов (дидактических материалов) в целях ее выявления, индивидуальной коррекции.

Использование заданий на оперирование геометрическими образами должно, поэтому предваряться заданиями на их создание, поскольку механизм создания образа во многом определяет и механизм оперирования образом.