Методика работы с геометрическими образами
Пример 6: Точка Е – середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляры из точки Е на прямые а) АР, ВС и АВ (рис. 7а); б) АС (рис. 7б).
Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно а.
Решение: Необходимо выделять грани (сечение) из состава тетраэдра, чтобы опустить из заданной точки перпендикуляры на заданные ребра.
а) Найдем длину перпендикуляра: Δ РАВ – равносторонний и т.Е – середина ребра РВ. ΔВМР ~ ΔЕКР с коэффициентом подобия (по определению преобразования подобия). Зная длины сторон ΔЕКР:
, применим теорему Пифагора и получим:
. Остальные длины перпендикуляров равны этому же значению.
б) Заметим, что перпендикуляр МЕ будет лежать в плоскости, перпендикулярной ребру АС. Чтобы построить эту плоскость, опустим из вершин В и Р перпендикуляры РМ и ВМ, тогда любая прямая, лежащая в ней будет перпендикулярна АС.
Найдем длину МЕ: В ΔАВС перпендикуляр МВ является медианой, следовательно, по теореме Пифагора . РМ = МВ. Тогда в равнобедренном ΔРМВ медиана МЕ является высотой. По теореме Пифагора:
.
Итак, выделено шесть видов заданий на создание геометрических образов (внутренне взаимосвязанных). Они предполагают:
перевод текста задачи в графический образ (его построение по условию задачи, выраженного словесно, с использованием символических обозначений);
актуализацию существенных признаков;
вычленение различных элементов чертежа, их сравнение, выделение, опознание;
видоизменение чертежа (мысленное или практическое) путем его переосмысливания, дополнительных построений, расширения исходных данных.
При выполнении этих заданий от ученика требуется воссоздание образа по словесному описанию или чертежу и его мысленное видоизменение (без изменения самого чертежа), что предполагает развитие произвольности восприятия, хорошей зрительной памяти; точной фиксации образа чертежа, го мысленного, причем, неоднократного преобразования в указанном направлении.
4.2. Задания на оперирование геометрическими образами
Эти задания отличаются тем, что их выполнение не предполагает опору на чертеж (данный в готовом виде или сделанный учеником по условию задачи). Вся работа с исходным образом осуществляется в основном «в воображении». Эти задания вызывают наибольшие трудности у тех учащихся, которые не могут «удержать» образ (он как бы расплывается, размывается, исчезает, а не имея четкого исходного образа, нельзя им мысленно «манипулировать»).
Есть здесь и другая трудность. Ученики, создающие отчетливые исходные образы, тоже затрудняются их мысленно видоизменять. Но эти затруднения отличны от тех, при которых образ, наоборот, не сохраняется, а расплывается. По условию задачи надо образ не столько «удержать», сколько его видоизменить (преобразовать в новый), т. е. отвлечься от него, а это как раз и трудно для тех учеников, у которых возникают яркие образы. Таким образом, трудность в оперировании геометрическими образами по своему психологическому содержанию различна, что требует использования разных методических приемов (дидактических материалов) в целях ее выявления, индивидуальной коррекции.
Использование заданий на оперирование геометрическими образами должно, поэтому предваряться заданиями на их создание, поскольку механизм создания образа во многом определяет и механизм оперирования образом.